Equações e Inequações

Equações e inequações são nomes bem parecidos, porém, isso não significa que tenham significados semelhantes. 

Quando escrevemos uma equação, estamos criando uma igualdade, e por esse motivo, o sinal de igual ( = ) sempre deve aparecer em nossa expressão. Além disso, em uma equação, nosso objetivo é encontrar um ou mais números específicos que satisfaçam nossa expressão matemática. Portanto, em uma equação, uma coisa deve ser obrigatoriamente igual a outra, ou isso não será uma equação.

Já em uma inequação, estamos falando sobre uma desigualdade, e dessa forma, teremos os sinais de maior ( > ), menor ( < ), maior ou igual ( ≥ ) e menor ou igual ( ≤ ) em nossa expressão. O nosso objetivo agora não é encontrar um número específico, mas sim um conjunto de valores que satisfaçam nossa condição de desigualdade. As resoluções das inequações são praticamente iguais às das equações, exceto quando há mais de 1 resposta. Neste caso, você deverá avaliar quais das respostas fazem parte do conjunto solução, como veremos mais à frente.

Equações de 2° grau

As equações e inequações do 2° grau recebem esse nome pois o maior expoente da expressão é 2. Elas provavelmente são as expressões mais famosas das aulas de matemática do Ensino Médio. Por quê? Bem, por que para resolvê-las, nós utilizamos a fórmula que é adorada por muitos e odiada por poucos (ou não). Estamos falando dela mesma, a nossa querida “Fórmula de Bhaskara”.

Um pouco de história e exemplos

Bhaskara II era um matemático que nasceu e viveu na Índia há mais de 900 anos e foi responsável por diversos avanços em vários campos da matemática, inclusive das equações de 2° grau. Mas foi ele que inventou essas equações? Não, há registros delas em tábuas de argila dos povos sumérios, há cerca de 5 mil anos. Então foi ele que inventou a fórmula? Também não, o inventor da fórmula que atribuímos a Bhaskara foi outro matemático indiano, Sridhara, que foi reconhecido por Bhaskara como o “cérebro” por trás dos ensinamentos presentes em seu livro Siddhānta Shiromani. Desse modo, o nome que damos para a equação é utilizado apenas aqui no Brasil, pois no resto do planeta ela recebe o nome de: “equação do segundo grau” ou “equação quadrada”, isso porque o maior expoente da equação é 2, que aparece no cálculo do discriminante.

Discrimi… o quê? Apesar do nome diferente, o discriminante da equação é o que normalmente chamamos de Delta (Δ).

Acredito que você já saiba, pois com certeza é um super fã dessa fórmula, mas vamos vê-la mesmo assim. A seguir você encontra a “Fórmula de Bhaskara”. Note que o Delta pode ser calculado junto ou separado da equação. No resultado final, isso não faz diferença, mas calculá-lo separadamente pode nos ajudar a economizar tempo, pois se Δ > 0, então a equação possui duas respostas diferentes; se Δ = 0, então a equação possui duas respostas iguais, pois raiz de 0 é sempre 0; e se Δ < 0, então a equação não possui soluções no conjunto dos números reais, mas possui soluções complexas. No entanto, normalmente você não precisa calcular soluções complexas, então pode parar logo ao encontrar o valor do discriminante.

Mas o que significa o “a, b, c“ da Fórmula de Bhaskara? O a será sempre o número que acompanha a incógnita de expoente 2; o b será sempre o número que acompanha a incógnita de expoente 1; e o c será sempre o número que está sozinho. Lembrando que a nunca pode ser 0, pois se isso acontece, x² não existe e estaríamos falando de uma equação de 1° grau. Contudo, b e c podem ser 0, e quando isso acontece, temos o que chamamos de equação incompleta. Agora, vamos resolver uma de cada tipo para você ver o que acontece:

Equação 1: x² + 3x -4 = 1

O que precisamos fazer primeiro nesse caso? Sim, passar o 1 para o outro lado da equação. Desse modo, ao mudar de lado, 1 vira -1. Então, no primeiro exemplo temos: a = 1, b = 3 e c = -4 -1 = -5. Veja que temos uma equação completa.

Vamos então descobrir nosso discriminante: Δ = 3² – (4 * 1 * (-5)) = 29

Continuando:

Desse modo, encontramos as chamadas raízes da equação, que são simplesmente os valores de x.

Equação 2: 4x² – x = 0

Agora a expressão está igualada a 0, então não precisamos mudá-lo de lado. No exemplo 2, temos: a = 4, b = -1 e c = 0.

Utilizando Bhaskara: Δ = (-1)² – (4 * 4 * 0) = 1

Feitas as contas, vemos que o valor de delta é simplesmente o valor de b², que nesse caso é 1. Percebeu algo de interessante? Veja que, pelo fato de c ser 0, o valor do delta foi apenas b², e isso é algo que sempre acontecerá quando tivermos c = 0. Desse modo, você pode “pular” um passo e ir direto para a segunda parte da equação. Mas não tem problema algum em utilizar a fórmula, faça o que for melhor para você, o importante é saber resolver a equação. Continuando as cálculos, vamos descobrir a raízes da equação:

Equação 3: -5x² + 7 = 0

No exemplo 3, temos a = -5, b = 0 e c = 7.

Então delta é calculado como: Δ = 0² – (4 * (-5) * 7) = 140

Seguindo com os cálculos:

Note que, sempre que tivermos b = 0, as raízes da nossa equação serão os mesmo valores, porém com sinais diferentes.

Equação 4: 3 + x + x² = 0

Eita, deu até um nó na cabeça olhar essa equação escrita ao contrário, mas é só para você saber que não faz diferença. Vamos continuar: no exemplo 4, temos a = 1, b = 1 e c = 3.

Sabendo disso podemos calcular o delta: Δ = 1² – (4 * 1 * 3) = -11

Opa, se delta é um número negativo, a equação não possui solução real, pois não existe nesse conjunto numérico uma raiz quadrada de número negativo. Então podemos parar por aqui, a não ser que você tenha que calcular as raízes complexas da equação.

Curiosidade: A máquina analítica

Você já imaginou como seria utilizar uma máquina para realizar e visualizar cálculos matemáticos? Provavelmente sim, afinal temos calculadoras, celulares e computadores, mas não é disso que estou falando, pois a máquina que veremos a seguir data do século XIX e foi idealizada pelo cientista e matemático inglês Charles Babbage, que tinha por objetivo resolver equações polinomiais de forma automática.

Esta máquina é chamada de Máquina Analítica de Babbage e é considerada como o primeiro computador, pois a estrutura básica da máquina faz parte dos computadores que utilizamos atualmente. Além disso, a máquina conseguia receber, processar, armazenar e exibir dados, que é o que fazem os computadores. No entanto, apesar de Babbage ter projetado a máquina, foi sua parceira de trabalho, Ada Lovelace, uma matemática inglesa, que desenvolveu o primeiro algoritmo processado pela máquina, que permitia à máquina calcular valores de funções matemáticas. Portanto, se a Máquina Analítica é o primeiro computador, Ada deve ser reconhecida como a primeira programadora da história (agradeça a ela por estar usando esse dispositivo para acessar o site). 😉

Referências