Sistemas Lineares
Sistemas lineares são conjuntos de equações associadas entre si e que possuem duas ou mais variáveis. Em sistemas lineares, entram apenas equações lineares, ou seja, expressões onde o maior expoente das incógnitas é igual a 1.
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Formato e classificações
Um sistema de equações lineares é representado da seguinte forma:
![sistema linear](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/sistema-linear.png)
Ou seja, as equações que fazem parte do sistema são colocadas em linhas diferentes, e a chave é utilizada para mostrar que elas fazem parte do mesmo conjunto. Normalmente, para facilitar a visualização do sistema, colocamos incógnitas iguais sempre na mesma “coluna”, mas isso não é regra. Exemplo:
![sistemas organizados e desorganizados](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/11/sistemas-organizados-e-desorganizados.png)
Veja como se torna muito mais fácil de entender o sistema quando deixamos ele organizado. 😉
Outro ponto importante dos sistemas lineares é em relação ao número possível de soluções que podemos encontrar. Para isso, eles recebem algumas classificações:
- Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível para o sistema. Para isso, o determinante principal do sistema deve ser diferente de 0.
- Sistema Possível e Indeterminado (SPI): há infinitas soluções para o sistema. Para isso, o determinante principal do sistema deve ser igual a 0, e os determinantes secundários devem ser iguais a 0.
- Sistema Impossível (SI): não há soluções para o sistema. Para isso, o determinante principal deve ser igual a 0, e pelo menos um determinante secundário deve ser diferente de 0.
Caso você ainda não saiba como calcular o determinante de uma matriz, acesse a página sobre o assunto e volte aqui depois, é rapidinho e você vai aprender bastante!
Mas se precisamos encontrar o determinante para classificar nosso sistema, isso significa que precisamos de uma matriz. E como se constrói uma matriz de um sistema linear?
Matriz de um sistema linear
Existem dois tipos de matrizes formadas a partir de um sistema de equações lineares. Utilizando o sistema a seguir, vamos construir os dois:
![sistema linear de três equações e duas incógnitas](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/sistema-linear-de-tres-equacoes-e-duas-incognitas.png)
– Matriz incompleta
Essa matriz é formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
![matriz incompleta](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/matriz-incompleta.png)
– Matriz completa
Essa matriz é formada tanto pelos coeficientes das incógnitas quanto pelos termos isolados do sistema (os que não acompanham nenhuma incógnita).
![matriz completa](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/matriz-completa.png)
Bem tranquilo, né? Antes de resolvermos alguns exemplos, vamos só ver mais dois conceitos importantes.
Tipos de determinante de um sistema linear
Observe o seguinte sistema de equações:
![sistema linear](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/11/sistema-linear-2.png)
– Determinante principal
O determinante principal de um sistema linear será encontrado a partir da matriz formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Para o sistema acima, temos o seguinte determinante principal:
![determinante principal](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/determinante-principal.png)
– Determinante secundário
Os determinantes secundários são aqueles relacionados a cada uma das incógnitas. Para encontrá-los, pegamos a matriz do determinante principal e trocamos os valores das colunas das respectivas incógnitas pelos valores dos termos isolados. Para o sistema acima, temos os seguintes determinantes secundários:
![determinante secundário dx](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/determinante-secundario-dx.png)
![determinante secundário dy](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/determinante-secundario-dy.png)
![determinante secundário dz](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/determinante-secundario-dz.png)
Pronto, agora que sabemos de todos os conceitos necessários, podemos finalmente partir para alguns exemplos e classificar nossos sistemas.
Ex. 1:
![sistema linear exemplo 1](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/sistema-linear-exemplo-1.png)
Com o sistema em mãos, temos que calcular o determinante principal.
![exemplo 1 sistema spd](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/exemplo-1-sistema-spd.png)
Portanto, como o determinante é diferente de 0, o sistema é SPD.
Ex. 2:
![sistema linear exemplo 2](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/01/sistema-linear-exemplo-2.png)
Vamos calcular o determinante.
![determinante spi](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/11/determinante-spi.png)
O determinante é 0, então já sabemos que o sistema não é SPD. No entanto, precisamos calcular pelo menos um determinante secundário para verificar se é SPI ou SI. Vamos calcular o determinante secundário da variável x.
![determinante dx spi](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/11/determinante-dx-spi.png)
Portanto, como um dos determinantes secundários (Dx no caso), também é 0, podemos concluir que o sistema é SPI.
Aplicações de sistemas lineares
1) GPS: na página sobre aplicações da geometria analítica, falamos sobre como a disciplina é uma das bases do GPS, justamente por envolver questões relacionadas a coordenadas. Também foi dito que ela utiliza dados de ondas eletromagnéticas para calcular a posição do indivíduo.
E sabe como essa posição é calculada? Exatamente, utilizando sistemas lineares. Os satélites recebem sinais de ondas eletromagnéticas, e utilizam um sistema de três equações lineares para determinar as coordenadas (altitude, latitude e longitude) em função do tempo que a onda levou para chegar até o satélite.
![gps](https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/wp-content/uploads/sites/5/2021/11/gps-1.jpg)
2) O GPS sem dúvidas é uma das aplicações mais importantes dos sistemas lineares, porém não é a única, já que o conteúdo é bastante utilizado na matemática, principalmente na geometria analítica. Existem ainda algumas outras aplicações desse conteúdo, porém são um pouco mais específicas. Caso tenha curiosidade, essas aplicações podem ser encontradas em: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/sistemas-lineares-algumas-aplicacoes/
Referências
Classificação dos sistemas lineares
https://www.youtube.com/watch?v=2yKwThfcV_A&ab_channel=ProfessoraAnaMaria%7CMatem%C3%A1tica