Análise Combinatória
A análise combinatória é um campo da matemática que se dedica ao estudo de problemas relacionados à contagem, de modo que o objetivo dessa área é descobrir qual é a quantidade de agrupamentos possíveis em uma determinada situação. Existem diversas aplicações dessa área, e, mesmo sem saber, muitas vezes a utilizamos, como veremos ao longo das páginas.
Dentre os principais tipos de agrupamentos, temos o arranjo, a combinação e a permutação. Mas você sabe qual a diferença entre eles?
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Arranjo
O arranjo é um tipo de agrupamento que nos permite calcular a quantidade total de possíveis configurações (ou sequências) de um determinado conjunto de elementos. Além disso, arranjos são agrupamentos que dependem da posição que cada elemento ocupa na sequência, ou seja, se tivermos os elementos 1, 2 e 3, e quisermos formar sequências de três números, as sequências 123 e 321 serão consideradas arranjos diferentes. Nesse caso, teríamos 6 arranjos diferentes para esses valores.
Mas como calcular o arranjo?
Para encontrarmos a quantidade de arranjos formados por um determinado conjunto de elementos, utilizaremos a seguinte fórmula:
Onde A = quantidade de arranjos possíveis, n = quantidade de elementos de cada conjunto, e p = quantidade de elementos de cada agrupamento.
No entanto, olhando apenas para as definições do que é n e p, pode parecer um pouco complicado de entender como de fato utilizar essa fórmula. Sendo assim, vamos ver um exemplo para ficar mais claro.
Exemplo: Vamos utilizar a fórmula do arranjo para confirmar que realmente podemos formar 6 arranjos diferentes para os valores 1, 2 e 3.
a) Primeiro, precisamos definir quem é n e quem é p.Sabemos que n é a quantidade de elementos do conjunto. Como nosso conjunto possui três elementos (1, 2 e 3), temos que n = 3.
b) Sabemos também que p é a quantidade de elementos de cada agrupamento. Como queremos formar um número (agrupamento) de três números, então temos que p = 3.
Agora que encontramos n e p, podemos substituir na fórmula do arranjo:
Perceba que temos alí 3! e 0!. Como 3! = 3*2*1 = 6 e 0! = 1, podemos substituir esses valores na expressão.
A = 6 / 1 = 6
Aplicações
Baseado em tudo que vimos até agora sobre o que é um arranjo, arrisca dizer onde podemos encontrar esse conceito no dia a dia? Bem, de qualquer forma, vamos dar uma olhada em algumas possibilidades, pois elas aparecem ao seu redor mais do que você imagina.
- Em meios de transporte, como ônibus, metrô, trem, avião, etc, são vários os arranjos que podem ser formados com os passageiros e os assentos. Perceba que, mesmo que você esteja sozinho(a) em um desses veículos, sentar no assento da janela é diferente de sentar no do corredor, da mesma forma que sentar no assento da frente é diferente de sentar no meio ou no fim, e por aí vai.
- Em um cinema, um restaurante, um estádio, entre outros estabelecimentos, também podemos formar diferentes arranjos com as pessoas e os assentos, certo?
- Pense em uma senha qualquer, envolvendo letras, números e/ou outros caracteres. Já escolheu? Agora pense em outras possíveis senhas que você pode fazer com estes mesmos caracteres. Fez isso? Se sim, está utilizando o arranjo, pois, afinal, caracteres em posições diferentes formam senhas diferentes.
- Outros exemplos de aplicações seriam, por exemplo, números de telefone, placas de carro e até mesmo a fila do caixa do supermercado, do banco, da padaria, etc.
Viu como não é difícil encontrar aplicações do arranjo no nosso dia a dia. Mas, e aí, você já tinha pensado nisso? Tente encontrar outras! Vamos então para mais um tipo de agrupamento.