Equações e Inequações
Equações e inequações são nomes bem parecidos, porém, isso não significa que tenham significados semelhantes.
Quando escrevemos uma equação, estamos criando uma igualdade, e por esse motivo, o sinal de igual ( = ) sempre deve aparecer em nossa expressão. Além disso, em uma equação, nosso objetivo é encontrar um ou mais números específicos que satisfaçam nossa expressão matemática. Portanto, em uma equação, uma coisa deve ser obrigatoriamente igual a outra, ou isso não será uma equação.
Já em uma inequação, estamos falando sobre uma desigualdade, e dessa forma, teremos os sinais de maior ( > ), menor ( < ), maior ou igual ( ≥ ) e menor ou igual ( ≤ ) em nossa expressão. O nosso objetivo agora não é encontrar um número específico, mas sim um conjunto de valores que satisfaçam nossa condição de desigualdade. As resoluções das inequações são praticamente iguais às das equações, exceto quando há mais de 1 resposta. Neste caso, você deverá avaliar quais das respostas fazem parte do conjunto solução, como veremos mais à frente.
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Equações modulares
Uma equação modular é aquela que possui uma incógnita dentro de pelo menos 1 módulo. Mas o que é um módulo?
Um módulo é representado por | | e refere-se ao valor absoluto de um número, ou seja, o valor positivo. Desse modo, você nunca terá um número negativo como resposta de um módulo, pois este perderá o sinal de negativo quando sair dele. Um outro modo de pensar o módulo é que ele representa a distância de um número até o zero, e como não existe distância negativa, então o valor será sempre positivo.
Vamos ver alguns exemplos:
Equação 1: | x + 5 | = 3
E agora, como resolver?
Primeiramente, devemos perceber que, apesar de ser uma equação de 1° grau, a expressão terá duas respostas, isso porque podemos conseguir o valor 3 de duas formas: com o módulo de 3 ( | 3 | ), e com o módulo de -3 ( | -3 | ), pois como foi dito, de um módulo só saem número positivos.
Então o que devemos fazer é encontrar as soluções para | x + 5 | = 3 e -| x + 5 | = 3. Vamos ver se dá certo?
| x + 5 | = 3
x + 5 = 3
x = 3 – 5
x = -2
Substituindo -2 na equação inicial, temos:
| -2 + 5 | = 3
| 3 | = 3
3 = 3
Portanto, -2 é solução da equação
Vamos calcular agora com o -3:
-| x + 5 | = 3
-x – 5 = 3
-x = 3 + 5
-x = 8
x = -8
Substituindo -8 na equação inicial:
| -8 + 5 | = 3
| -3 | = 3
3 = 3
Portanto, -8 é solução da equação
Portanto, em equações modulares com 1 módulo, teremos duas respostas. Mas o que acontece se tiverem 2 módulos, teremos 4?
Equação 2: | 4 – x | = | 6 + 2x |
No caso de dois módulos, temos 4 tipos de equação diferentes para resolver:
1: | 4 – x | = | 6 + 2x |
2: | 4 – x | = -| 6 + 2x |
3: -| 4 – x | = -| 6 + 2x |
4: -| 4 – x | = | 6 + 2x |
Porém, observe que os casos 1 e 3 terão a mesma resposta, pois é como se tivéssemos pego o caso 1 e multiplicado por -1. Observe também que os casos 2 e 4 também terão a mesma resposta pelo mesmo motivo, o caso 4 é igual ao 2, porém multiplicado por -1.
Desse modo, basta calcular 2 expressões ao invés de 4.
| 4 – x | = | 6 + 2x |
4 – x = 6 + 2x
4 – 6 = 2x + x
-2 = 3x
x = -2/3
| 4 – x | = -| 6 + 2x |
4 – x = (-6) + (-2x)
4 + 6 = x – 2x
10 = -x
x = -10
Se você calcular os outros casos, verá que realmente teremos os mesmos resultados -2/3 e -10. Faça você mesmo os casos 3 e 4 para treinar.
Equação 3: |4x2 + 5x + 3| = 2
O procedimento é o mesmo, basta calcular os valores de x nos casos “+ módulo” e “- módulo”, que nem fizemos nos exemplos anteriores.
|4x2 + 5x + 3| = 2
Tirando o módulo e passando o 2 para o outro lado:
4x2 + 5x + 1 = 0
Calculando x1 e x2, encontraremos -1 e -1/4
No segundo caso, temos que:
-|4x2 + 5x + 3| = 2
-4x2 – 5x – 3 = 2
Tirando o módulo e passando o 2 para o outro lado:
-4x2 – 5x – 5 = 0
Calculando o delta do caso 2, encontraremos o valor -55. Portanto, não existem raízes reais. Desse modo, nosso conjunto de soluções é -1 e -1/4.
Note que, neste caso, apenas um dos casos gerou soluções reais para nossa equação, mas isso não é regra, então tenha muito cuidado ao resolver equações de segundo grau que envolvam módulos.
Equação 4: | 3x – 1 | = -9
O que fazer nesse caso? Seguir o mesmo procedimento das anteriores? A resposta é: não. Perceba que a expressão pede um número que tenha módulo igual a -9, mas como sabemos, de um módulo nunca saem número negativos, portanto esta equação não tem solução.
Referências
Equação modular