Sequências

Sequências e progressões são elementos que, mesmo sem percebermos, aparecem frequentemente em nossas vidas. Por exemplo, os anos bissextos, as Olimpíadas, as eleições municipais e estaduais/federais do Brasil e a Copa do Mundo de Futebol são eventos que acontecem sempre a cada 4 anos. O seu aniversário é algo que acontece a cada um ano também não é? 

A sequência de Fibonacci

Você já ouviu falar da Sequência de Fibonacci? Ela é uma sequência bem famosa na matemática e cada termo dela é encontrado a partir da soma dos últimos dois termos. Sua lei de formação é:

F_n = F_n-1 + F_n-2

Os primeiros termos dessa sequência são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

Vamos construir o começo dela para entendermos melhor. Antes vamos estabelecer que F₀ = 0 e F₁ = 1. Como já conhecemos F₀ e F₁, vamos começar procurando F₂, e para isso vamos utilizar a lei de formação:

F2 = F2-1+ F2-2 F2 = F1 + F0 F2 = 1 + 0 = 1	F3 = F2 + F1 F3 = 1 + 1 = 2	F4 = F3 + F2 F4 = 2 + 1 = 3	F5 = F4+ F3 F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8	F7 = 8 + 5 = 13	F8 = 13 + 8 = 21	…

Entendeu? Basta ir somando os dois últimos números para encontrar o próximo da sequência. 

Aplicações da sequência de Fibonacci

1) Se você dividir um número da sequência pelo seu antecessor verá que quanto mais você avança na sequência, mais próximo de 1,618 as divisões vão ficando, e esse valor é conhecido como número de ouro, que é muito utilizado quando falamos de proporção. O número de ouro é o responsável pelo chamado espiral de ouro, obtido através do retângulo de ouro, e é uma curva muito agradável aos nossos olhos (veja a figura da Mona Lisa a seguir). É por esse motivo que este número é bastante utilizado na área do design gráfico e em trabalhos artísticos (como pinturas), recebendo o nome de proporção áurea. Inclusive, acredita-se que Leonardo Da Vinci tenha utilizado a proporção áurea em seus quadros “A Mona Lisa”, “A Santa Ceia” e no desenho “Homem Vitruviano”. Assista este curto episódio do Pato Donald sobre o tópico. Vale a pena conferir! 😉

Contudo, não para por aí as aplicações dessa sequência, podemos também encontrá-la:

• No miolo dos girassóis, que é preenchido com sementes em um duplo espiral, em que encontram-se 21 sementes no sentido horário e 34 no sentido anti-horário, como os termos 8 e 9 da sequência.
• Na pinha, após seu crescimento, as sementes formam espirais com 8 sementes no sentido horário e 13 no sentido anti-horário, como os termos 6 e 7 da sequência.
• Na concha de caramujos, que possui espirais que crescem de forma harmônica.
• No corpo humano: ao dividir a altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão, o resultado será aproximadamente o número de ouro (1,618). ( Teste aí e veja se funciona 😉 )
• A sequência é ainda utilizada em programação, principalmente nas linguagens C, C++ e C#.
• No mercado financeiro, é utilizado o inverso do número de ouro (1/1,618) para analisar padrões de reversões do mercado.

Bem legal as aplicações da sequência Fibonacci, né? Dizem que ela está até no comportamento dos átomos… E você ainda insiste em dizer que a matemática não faz parte do seu dia a dia… 

A partir de agora veremos alguns tipos especiais de sequências.

Referências