Equações e Inequações

Equações e inequações são nomes bem parecidos, porém, isso não significa que tenham significados semelhantes. 

Quando escrevemos uma equação, estamos criando uma igualdade, e por esse motivo, o sinal de igual ( = ) sempre deve aparecer em nossa expressão. Além disso, em uma equação, nosso objetivo é encontrar um ou mais números específicos que satisfaçam nossa expressão matemática. Portanto, em uma equação, uma coisa deve ser obrigatoriamente igual a outra, ou isso não será uma equação.

Já em uma inequação, estamos falando sobre uma desigualdade, e dessa forma, teremos os sinais de maior ( > ), menor ( < ), maior ou igual ( ≥ ) e menor ou igual ( ≤ ) em nossa expressão. O nosso objetivo agora não é encontrar um número específico, mas sim um conjunto de valores que satisfaçam nossa condição de desigualdade. As resoluções das inequações são praticamente iguais às das equações, exceto quando há mais de 1 resposta. Neste caso, você deverá avaliar quais das respostas fazem parte do conjunto solução, como veremos mais à frente.

Equações exponenciais

As equações exponenciais são aquelas que possuem no mínimo uma incógnita no expoente da expressão. Desse modo, saber as propriedades da potenciação é essencial para resolvê-las.

Propriedades da potenciação

1) Um número elevado a 1 será sempre igual ao próprio número. Exemplo:

55¹ = 55

Note que, dessa forma, mesmo que o 1 não apareça como potência (como em 55¹), ele está sempre lá.

2) Todo número elevado a 0 é igual a 1. Exemplos:

153⁰ = 1

 -42⁰ = 1

(¼)⁰ = 1

3) Elevar um número a uma potência negativa é o mesmo que escrever o inverso desse número com a potência positiva. Exemplos:

4^(-1) = (¼)¹

2^(-5) = (½)⁵

(¾)^(-3) = (4/3)³

E inverter um número é o mesmo que elevar a -1.

⅙ = 6^(-1)

5/3 = (⅗)^(-1)

7 = (1/7)^(-1)

4) Em uma multiplicação de potências de mesma base, basta somar os expoentes.

2³ * 2⁴ = 2⁽³⁺⁴⁾ = 2⁷

5² * 5³ = 5⁽²⁺³⁾ = 5⁵

5) Em uma divisão de potências de mesma base, basta subtrair os expoentes.

7³ / 7² = 7^(3-2) = 7¹

4⁵ / 4⁷ = 4^(5-7) = 4^(-2) = (¼)²

6) Potência da potência: ao elevar um expoente a outro expoente, deve-se manter a base e multiplicar as potências.

(3²)⁴ = 3^(2*4) = 3⁸

7) Transformando raiz em expoente fracionário (fração) e vice-versa: uma raiz pode ser transformada em potência, de modo que o numerador recebe o expoente do número dentro da raiz e o denominador recebe o grau da raiz. E dessa mesma forma, podemos transformar um expoente fracionário em raiz.

= 23^(⅓)

  = 72^(½)

 6^(⅖) =

Pronto, agora que sabemos das propriedades do expoente, podemos resolver as equações exponenciais.

Equação 1: 3^x = 243

Na resolução de equações exponenciais, primeiramente temos que tentar igualar as bases. Na equação 1, para atingir nosso objetivo, devemos decompor o 243 (para saber mais sobre decomposição, acesse: Os números primos). Ao fazer isso, encontramos 3⁵, e ficamos com a seguinte expressão:

3^x = 3⁵

Como as bases estão iguais, podemos cancelá-las, e o que nos sobre agora é x = 5. Portanto, 5 é a resposta de nossa equação.

Equação 2: 4^(x+1) = 64

Na equação 2, o procedimento é o mesmo, porém, temos que decompor o quatro também. Feito isso, encontramos a expressão:

(2²)^(x+1) = 2⁶

Lembra das propriedades que vimos anteriormente (a 6 para ser mais preciso)? Então, agora é só fazer a multiplicação para chegar em:

2^(2x+2) = 2⁶

Cancelando as bases iguais, basta resolver normalmente a equação de primeiro grau:

2x + 2 = 6

2x = 4

x = 2

Bem tranquilo né? Na verdade, também poderíamos ter resolvido de outra forma. Ao invés de deixar ambas as bases em 2, poderíamos tê-las deixado no 4 mesmo, pois 64 = 4³. Então é só cancelar as bases e resolver da mesma maneira que fizemos.

Equação 3: 5^3x =

Nossa, tomei até um susto 😮 , tem uma raiz quarta de 3125 alí. E agora, o que fazer? Apesar de parecer algo super complicado, você vai ver que não é tão difícil assim.

Até agora, o que fizemos foi sempre igualar as bases decompondo um dos lados da equação. Então basta decompormos 3125 para encontrar 5⁵. 

Feito isso, temos a seguinte expressão:

 5^3x =

Lembra da propriedade número 7, que nos diz que podemos transformar uma raiz em um expoente fracionário? Utilizando esta propriedade, encontramos a seguinte expressão:

 5^3x = 5^5/4

Agora é só finalizar:

3x = 5/4 

x = 5/12

Equação 4: = 1

Na equação 4, temos uma equação quadrática como expoente da expressão. Mas vamos seguir normalmente, igualando primeiramente as bases.

Temos 3 de um lado e 1 do outro. Mas não temos como transformar 1 em 3. E agora? É nesse momento que entram mais uma vez as propriedades da potenciação.

Lembra da propriedade 2? Ela diz que qualquer número elevado a 0 é igual a 1, desse modo, podemos dizer que 1 = 3⁰. Assim, igualamos as bases e agora é só fazer aquilo que a gente já sabe, cortar as bases e resolver a equação quadrática.

= 3⁰

x² + 3x – 4 = 0

x₁ = -4 e x₂ = 1

Equação 5: 10^x = 20

Até agora, todas as equações vistas tinham bases iguais, porém esta é diferente, pois nele você não conseguirá igualar as bases. Mas o que fazer então? Precisaremos utilizar logaritmos, pois eles são a operação inversa da exponencial.

Para resolver nossa equação 5, precisamos seguir alguns passos.

1. Aplicar o logaritmo nos dois lados da equação (vamos utilizar a base 10, mas qualquer uma resultará na mesma resposta)

Log₁₀(10^x) =  log₁₀(20)

Se preferir, você pode fazer 20 = 2 * 10. É importante prestar atenção nesse tipo de coisa pois, de repente, em uma avaliação, por exemplo, não foi indicado a você o Log de 20, mas sim os Logs de 2 e 10. Mas vamos fazer dos dois jeito para você ver que dá na mesma.

2. Na página sobre equações logarítmicas, falamos sobre as propriedades dos logaritmos, e é nesse momento que vamos utilizá-los. Lembre-se que, se o valor dentro do log tem um expoente, este expoente passa a multiplicar o log (propriedade 3). Outra coisa importante é lembrar que o logaritmo da multiplicação de dois ou mais números é igual a soma dos Logs desses números (propriedade 1).

Viu só como o resultado é igual! No fim, não foi tão difícil quanto parecia no começo né?

Logaritmos e exponenciais são coisas que nos assustam à primeira vista, mas basta conhecer bem as propriedades que tudo dá certo.

E é isso, terminamos por aqui o estudo sobre equações, onde aprendemos diversas maneiras de resolver as diversas equações existentes!

Referências