Equações e Inequações
Equações e inequações são nomes bem parecidos, porém, isso não significa que tenham significados semelhantes.
Quando escrevemos uma equação, estamos criando uma igualdade, e por esse motivo, o sinal de igual ( = ) sempre deve aparecer em nossa expressão. Além disso, em uma equação, nosso objetivo é encontrar um ou mais números específicos que satisfaçam nossa expressão matemática. Portanto, em uma equação, uma coisa deve ser obrigatoriamente igual a outra, ou isso não será uma equação.
Já em uma inequação, estamos falando sobre uma desigualdade, e dessa forma, teremos os sinais de maior ( > ), menor ( < ), maior ou igual ( ≥ ) e menor ou igual ( ≤ ) em nossa expressão. O nosso objetivo agora não é encontrar um número específico, mas sim um conjunto de valores que satisfaçam nossa condição de desigualdade. As resoluções das inequações são praticamente iguais às das equações, exceto quando há mais de 1 resposta. Neste caso, você deverá avaliar quais das respostas fazem parte do conjunto solução, como veremos mais à frente.
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Inequações do 2° grau
Vamos agora resolver inequações do segundo grau. O processo de resolução utilizando a Fórmula de Bhaskara continua, porém, agora devemos analisar as raízes encontradas para ver qual delas satisfaz a inequação.
Inequação 1: 2x2 – 3x + 1 < 0
Queremos então um conjunto de números para que a expressão 2x2 – 3x + 1 seja menor que 0.
Ao calcular o discriminante, temos que delta = 1.
Temos que as raízes da equação são ½ e 1. Se você jogar esses números na equação, verá que o resultado final será 0. E isso acontece porque resolvemos a expressão como se fosse uma equação normal igualada a zero. Então o que devemos fazer agora é analisar. Primeiramente, vamos colocar as raízes na reta real. Lembrando que, na reta real, a bolinha clara representa um intervalo aberto (> ou <), e a bolinha escura representa um intervalo fechado (>= e <=), ou seja, que termina em um determinado número.
A reta real nos ajuda a entender o comportamento da expressão em alguns pontos. Já sabemos que ½ e 1 não farão parte do nosso conjunto solução, pois queremos que a expressão seja menor que 0, e não igual. Então, temos que testar alguns valores: um menor de ½, um entre ½ e 1, e outro maior que 1, pois temos que ver o que acontece antes, entre e depois das nossas raízes.
Vamos escolher, por exemplo, ¼, ¾ e 2.
Colocando ¼ na expressão, encontramos a resposta ⅜, ou 0,375. Como é maior que 0, essa resposta não nos interessa. Colocando ¾, encontramos a resposta -⅛, 0u -0,125. Como é menor que 0, a resposta nos interessa. Colocando 2, encontramos a resposta 3. Como é maior que 0, não nos interessa.
Fazendo a reta real comas informações adquiridas, temos agora:
Vamos ver mais um exemplo só para fixar a ideia?
Inequação 2: 4x2 – 7x + 4 >= 1
Novamente, temos delta = 1. Finalizando os cálculos das raízes, encontramos x1 = 1 e x2 = 3/4. Agora vamos criar nossa reta real. Note que agora a bolinha é escura, pois o intervalo é fechado (>=).
De novo, vamos pegar três números: um menor que 3/4, um entre 3/4 e 1 e outro maior que 1, e substituir na expressão 4x2 – 7x + 4 (lembrando que queremos valores maiores que 1). Por exemplo: 1/2, 4/5 e 2.
Substituindo 1/2, a resposta é 3/2, que é maior que 1.
Substituindo 4/5, a resposta é 24/25, ou 0,96, que é menor que 1.
Por fim, substituindo 2, a resposta é 6, que é maior que 1.
Reescrevendo a reta real com as informações obtidas, temos agora:
Note que, como x nunca será igual ao infinito, o mais correto é utilizar os sinais de > (maior) ou < (menor).