Sequências

Sequências e progressões são elementos que, mesmo sem percebermos, aparecem frequentemente em nossas vidas. Por exemplo, os anos bissextos, as Olimpíadas, as eleições municipais e estaduais/federais do Brasil e a Copa do Mundo de Futebol são eventos que acontecem sempre a cada 4 anos. O seu aniversário é algo que acontece a cada um ano também não é? 

Progressão aritmética (PA)

Uma PA, ou progressão aritmética, é um tipo de sequência onde a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Desse modo, o crescimento ou decrescimento da sequência será sempre constante, e essa constante recebe o nome de razão da PA.

Mas como representar uma PA? E como é sua lei de formação?

Representação e lei de formação

O modo de representar uma PA é o mesmo que fizemos para outros tipos de sequências, ou seja, basta colocar seus termos dentro dos parênteses e separados por vírgulas ( , ). Exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …)

Agora, como será a lei de formação de uma PA? Para entender melhor, vamos então olhar para o exemplo anterior, onde temos apenas números ímpares:

• O primeiro termo da progressão é 1 e o segundo é 3.
• Ao subtrair esses termos, temos que 3-1 = 2. E o que significa esse 2? Isso mesmo, a razão “r” da PA, pois lembre-se que uma progressão aritmética sempre cresce ou decresce constantemente, e essa constante é justamente a razão da PA.
• Agora que encontramos a razão podemos definir sua lei de formação como:

N = n + 2

onde N é o próximo número da sequência e n é o número anterior

Será que acertamos? Vamos testar alguns números para ter certeza:

Opa, viu o que está acontecendo? Estamos recriando a sequência do exemplo, portanto nossa lei de formação está correta. Generalizando então a lei de formação de uma PA, temos que:

Então, recapitulando, para construir uma progressão aritmética, precisamos primeiro descobrir sua razão e depois basta somar com o primeiro termo para achar o segundo, somar com o segundo para achar o terceiro, somar com o terceiro para achar o quarto, e por aí vai…

Mas vamos supor que você não queira construir a sequência toda, mas encontrar apenas o 20° termo da progressão. Como você poderia fazer isso, alguma ideia?

Podemos tentar usar nossa lei de formação: a₂₀ = a₁₉ + 2. Mas aí complica, porque para achar o 20° termo, precisamos do 19°, e calculamos somente até o 8° termo. Você poderia calcular todos os termos até o 19 e em seguida achar o 20? Claro que poderia, mas ia dar um trabalho danado. O que será que podemos fazer então…

Que tal tentarmos generalizar nossa lei de formação?

O termo geral da PA

Já sabemos que para descobrir a lei de formação de uma PA, basta sabermos sua razão e o primeiro termo. Mas também sabemos que calcular um termo qualquer a partir dessa lei é uma tarefa bem trabalhosa. Então agora apresento a você o termo geral da PA:

A_n = a₁ + r * (n – 1)

Por que geral? Porque queremos achar um termo qualquer, ou seja, o n-ésimo (A_n) termo da nossa sequência. Perceba que, para o termo geral, nós precisamos saber qual é o primeiro termo da sequência e qual é sua razão. Feito isso, basta multiplicar “r” por (n – 1), onde “n” corresponde à posição do termo que queremos encontrar.

Vamos achar o 20° termo da nossa sequência:

A₂₀ = 1 + 2 * (20 – 1)

A₂₀ = 1 + 2 * 19

A₂₀ = 1 + 38

A₂₀ = 39

Portanto, 39 é o 20° termo da nossa sequência. Agora, se eu te desse o número 39 e pedisse para você me dizer qual a posição dele na sequência, como você faria esse cálculo?

Basta usar a mesma fórmula, não é mesmo? Só que agora, ao invés de encontrar A_n (um número qualquer da PA), iremos encontrar n, ou seja, a posição deste número na PA.

39 = 1 + 2 * (n – 1)

39 = 1 + 2n – 2

39 + 1 = 2n

40 = 2n

20 = n

Mas e se eu não conhecer dois termos consecutivos, como vou saber qual é a razão da minha PA?

Vamos continuar com o mesmo exemplo, mas agora vamos supor que temos apenas o 1° e o 20° termo. Sabemos então que o primeiro termo é 1 e o vigésimo termo é 39, desse modo podemos utilizar a mesma fórmula do termo geral para descobrir a razão.

39 = 1 + r (20 – 1)

39 = 1 + 19r

39 – 1 = 19r

r = 2

Temos então que r = 2, que é a mesma razão que já sabíamos.

Tranquilo né? Mas chega de teoria por enquanto, vamos ler uma história.

O menino Gauss e a soma dos termos da PA

Era uma vez um menino chamado Carl Gauss, ou só Gauss mesmo. O menino fazia parte de uma turma que adorava uma bagunça, então, certo dia, durante uma aula de matemática, o professor resolveu aplicar uma atividade bem simples, mas que deveria demorar um bom tempo para ser finalizada. Ela consistia em somar todos os números de 1 até 100. Parece bem divertido, que tal fazermos essa atividade também? Vamos lá:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12…

Acho que vamos levar um tempinho até terminar de somar todos os números… Será que esse é o único jeito? E é aí que entra nosso amigo Gauss. 

Gauss era um menino muito perspicaz, e em pouco tempo conseguiu terminar a atividade. Então seu professor pediu para que o garoto explicasse o que havia feito para somar todos os números tão rapidamente. Gauss explicou que ao somar o primeiro e o último número da sequência, o resultado era 101, fazendo o mesmo para o segundo e penúltimo, também temos 101, para o terceiro e antepenúltimo, também encontramos 101. E se você continuar somando os termos sempre vai encontrar 101 como resultado. Sabendo disso, vemos que nessa sequência existem 50 pares de números que têm como resultado 101. Então o que Gauss fez foi multiplicar 101 * 50 para chegar ao resultado correto de 5050.

Perceba que essa sequência dos números de 1 até 100 é uma PA de razão 1. Dessa forma, conclui-se que a soma dos termos de qualquer PA pode ser feita da seguinte forma:

Vamos ver se chegamos ao mesmo resultado de 5050 usando a fórmula:

Portanto, é assim que calculamos a soma dos termos de uma progressão aritmética. E ela vale para qualquer PA, independente se o total de números é par ou ímpar.

O que acha de alguns exercícios para treinar um pouco?

Para finalizar, vamos estudar agora sobre progressões geométricas!

Referências