Sequências

Sequências e progressões são elementos que, mesmo sem percebermos, aparecem frequentemente em nossas vidas. Por exemplo, os anos bissextos, as Olimpíadas, as eleições municipais e estaduais/federais do Brasil e a Copa do Mundo de Futebol são eventos que acontecem sempre a cada 4 anos. O seu aniversário é algo que acontece a cada um ano também não é? 

Progressão geométrica (PG)

A PG, ou progressão geométrica, é uma sequência onde cada termo é igual ao seu antecessor multiplicado por uma constante. Assim como na PA, a progressão geométrica também possui uma razão, que será justamente sua constante multiplicativa. Quando a razão da PG for um número negativo, ela é chamada de PG alternada.

Representação e lei de formação

A representação de uma PG é exatamente igual às vistas anteriormente, ou seja, basta escrever os termos da sequência dentro de um parênteses e separados por vírgulas ( , ). Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, …)

Será mesmo que essa sequência do exemplo é uma PG? Vamos fazer uma breve análise dela.

• O primeiro termo da sequência é 1, o segundo é 2 e o terceiro é 4. Como foi dito no início da página, em uma PG, cada novo termo é formado por seu antecessor multiplicado por uma constante.
• Para descobrir qual é essa constante, devemos então utilizar a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Desse modo, 2/1 = 2, e se fizermos agora para o próximo termo, teremos 4/2 = 2, logo, podemos perceber que nossa sequência é uma PG de razão r = 2.
• Agora que sabemos a razão, vamos montar nossa lei de formação.

N = n * 2

onde N é o próximo número da sequência e n é o número anterior

Só para ter certeza de que acertamos, vamos tentar reconstruir a sequência do exemplo:

Viu, aos poucos estamos recriando a sequência do exemplo. Dessa forma, podemos então generalizar a lei de formação de PGs da seguinte forma:

Então é isso, bem simples, né? Com esse conhecimento em mãos agora você pode criar diversas PGs. Mas vamos supor que você não queira construir uma sequência, mas na verdade quer encontrar um determinado termo dessa sequência, o que fazer neste caso?

O termo geral da PG

Você já sabe como construir uma PG, mas utilizando a lei de formação, não é possível prever tão facilmente qual será um termo qualquer da sequência. Por isso, veremos agora o chamado termo geral da PG:

A_n = a₁ * r ^(n-1)

Onde A_n = o n-ésimo termo da sequência (um termo qualquer), a₁ = o primeiro termo da sequência, r = a razão da PG e n = a posição do n-ésimo termo.

Desse modo, vamos utilizar a mesma sequência do exemplo e encontrar seu 25° termo:

A₂₅ = 1 * 2^(25-1)

A₂₅ = 16.777.216

Eita, deu um número muito grande, mas isso é normal, pois estamos trabalhando com multiplicações.

Mas, e se eu te desse 16.777.216 e te pedisse para encontrar qual termo esse número representa? Basta calcular agora o valor de n, né?

16.777.216 = 1 * 2^{(n -1)}

Humm, como proceder agora? Temos que tirar aquele “n” do expoente, o que faz com que nossa equação seja uma exponencial. Então, para retirar aquele “n” de lá, teremos que usar o famoso logaritmo. Se ainda não conhece ou apenas esqueceu como utilizá-lo, dê uma olhada na página sobre equações logarítmicas, e se ainda não conhece as equações exponenciais (principalmente o exemplo 5), dê uma olhadinha lá também, os conteúdos dessas duas páginas são bem curtos, mas serão de grande importância para resolvermos essa equação. Continuando.

Aplicando o Ln em ambos os lados da equação:

Ln(16.777.216) = Ln(1 * 2^{(n -1)})

A partir das propriedades de logaritmos, temos que:

Ln(16.777.216) =  Ln(1) + (n -1) * Ln(2)

Se você colocar estes valores de Ln em uma calculadora, verá que Ln(16.777.216) = 16,64, Ln(1) = 0 e Ln(2) = 0,693. Segue então que:

16,64 = 0 + (n – 1) * 0,693

16,64 =  0,693n – 0,693

16,64 + 0,693 = 0,693n  

17,333/0,693 = n

n = 25

Viu, chegamos ao mesmo 25. É um pouco mais trabalhoso que no caso da PA, mas nada que um pouco de treino não resolva. Por fim, e se não soubermos dois termos consecutivos da PG, como descobrir sua razão? Bem, basta usar a mesma fórmula, só que agora iremos descobrir “r”.

Sabendo que o primeiro termo é 1 e que o vigésimo quinto 25 é 16.777.216, a razão da PG pode ser descoberta como:

16.777.216 = 1 * r^(25-1)

16.777.216/1 = r²⁴

16.777.216 = r²⁴

Então, calcular essa raiz de ordem 24 não é uma tarefa fácil. Claro que temos softwares e dispositivos a nossa disposição, deixando tudo mais fácil, porém, é importante saber como sobreviver sem eles. Para tirar aquele 24 do expoente, precisamos de… isso mesmo, logaritmos!

 Ln(16.777.216) = 24 * Ln(r)

 Ln(16.777.216)/24 = Ln(r)

Aí não temos muito para onde fugir, temos que ou usar uma tabela de logaritmos ou um software que calcule-os para nós. Mas vamos fingir que este é um exercício da prova em que você sabe que Ln(16.777.216) = 16,63  e que e^0,693 = 2 (isso vai ser importante no final). Desse modo:

16,63/24 = Ln(r)

0,693 = Ln(r)

Como isolar o “r” agora? Isso mesmo, aplicando a exponencial:

e^0,693 = r

Como sabemos que e^0,693 = 2, temos que r = 2, justamente a razão que já sabíamos no início.

Soma dos termos de uma PG

Para finalizarmos o assunto, vamos ver como calcular a soma dos termos de uma PG. Desta vez não temos historinha que nem na PA, mas o conteúdo é bem simples.

Se quisermos saber a soma de “n” termos de uma PG, basta utilizar a fórmula:

Vamos testar com a mesma sequência utilizada anteriormente (1, 2, 4, 8, 16, …), calculando a soma do 6 primeiros termos:

Se você somar 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 verá que realmente encontramos 63. Portanto, a fórmula funciona mesmo.

Aplicações

Referências