Estudo do Ponto e Reta

O estudo do ponto e da reta é fundamental para a geometria, pois esses elementos constituem a base de toda a disciplina. Além disso, podemos utilizá-los para descobrir informações importantes sobre diversas figuras geométricas, como a circunferência, por exemplo.

Conceitos

Para começar, precisamos ver alguns conceitos essenciais, como o de ponto, reta, plano e espaço.

– Ponto

Apesar de não possuir uma definição, podemos dizer que um ponto consiste em um conjunto de coordenadas. No plano cartesiano bidimensional, um ponto é formado pelas coordenadas (x, y). No espaço tridimensional, um ponto é formado pelas coordenadas (x, y, z). Em um GPS, um ponto é formado pelas coordenadas obtidas a partir da altitude, latitude e longitude do objeto. Para representar um ponto, utilizamos letras maiúsculas (A, B, C…).

Quando dois ou mais pontos estão sobre uma uma reta, diremos que são colineares. Note que, na figura a seguir, os pontos A, B e C são colineares, pois todos estão sobre a mesma reta r. Da mesma forma, os pontos D e E são colineares, pois ambos estão sobre a reta s.

Mas o que é exatamente uma reta? Vamos ver a seguir!

– Reta

Uma reta consiste em um conjunto de pontos. Uma reta não tem começo nem fim, ou seja, é infinita em ambas as direções. No entanto, para que ela exista, é necessário que haja, no mínimo, dois pontos. Para representar um reta, utilizamos letras minúsculas (a, b, c…) ou a notação . Observe a figura a seguir:

Dessa forma, chamaremos de segmento de reta o “pedaço” de uma reta que é delimitado por dois pontos. Para representar um segmento de reta, utilizamos a notação.

Da mesma maneira, chamaremos de semirreta uma reta que tem um começo mas não tem um fim, ou seja, é infinita em apenas uma direção.

Para representar semirretas, utilizamos a seguinte notação: , no caso da semirreta que começa em B e passa por A; e , no caso da semirreta que começa em A e passa por B.

– Plano

Um plano consiste em um conjunto de retas e é formado por, no mínimo, três pontos não colineares. Assim como as retas, um plano é infinito em todas as direções. Dessa forma, o plano caracteriza-se por ser uma “estrutura” de apenas duas dimensões. Podemos pensar no plano como a folha de um caderno, a lousa, a página de um livro ou a superfície de uma mesa. Para representar um plano, utilizamos letras do alfabeto grego (α, β, γ…). A seguir temos o plano α, formado pelas retas AB, BC e AC.

Quando um plano é cortado por um reta e, consequentemente, divido em duas partes, cada uma dessas partes é chamada de semiplano. Na figura a seguir, observe que a reta h divide o plano α em duas partes, dando origem aos semiplanos α₁ e α₂.

– Espaço

O espaço consiste no conjunto de planos, e é infinito em todas as direções. No caso da geometria do Ensino Médio, o espaço é uma “estrutura” de três dimensões. A exemplo de comparação, podemos pensar no mundo em que vivemos como sendo esse “espaço”, que possui altura, latitude e longitude, ou seja, três dimensões.

Apesar de simples, esses conceitos são importantes para entender as próximas partes do conteúdo. Vamos continuar?

Referências