Análise Combinatória

A análise combinatória é um campo da matemática que se dedica ao estudo de problemas relacionados à contagem, de modo que o objetivo dessa área é descobrir qual é a quantidade de agrupamentos possíveis em uma determinada situação. Existem diversas aplicações dessa área, e, mesmo sem saber, muitas vezes a utilizamos, como veremos ao longo das páginas.

Dentre os principais tipos de agrupamentos, temos o arranjo, a combinação e a permutação. Mas você sabe qual a diferença entre eles?

Combinação

A combinação é um tipo de agrupamento que nos permite calcular a quantidade parcial de possíveis configurações (ou sequências) de um determinado conjunto de elementos. Além disso, combinações são agrupamentos que não dependem da posição que cada elemento ocupa na sequência, ou seja, se tivermos os elementos 1, 2 e 3, e quisermos formar sequências de três números, as sequências 123 e 321 serão consideradas como iguais (uma única combinação). É por esse motivo que a combinação foi definida anteriormente como “quantidade parcial”, pois, diferentemente do arranjo, onde teríamos 6 sequências diferentes para os valores 1, 2 e 3, na combinação temos apenas 1 sequência. 

Há dois tipos de combinação, a simples e a com repetição. Na combinação simples, cada elemento do conjunto só pode ser utilizado uma vez para formar as diferentes sequências. Já na combinação com repetição, os elementos do conjunto podem ser utilizados várias vezes em uma mesma sequência. Vamos ver como calcular cada uma delas.

– Combinação simples

Para o cálculo da combinação simples, utilizamos a seguinte fórmula:

Onde C = quantidade de combinações possíveis, n = quantidade de elementos de cada conjunto, e p = quantidade de elementos de cada agrupamento.

É importante ressaltar que p sempre será menor ou igual a n, pois, se for menor, note que “(n-p)!” seria o fatorial de um número negativo, e não existe fatorial de números negativos. É importante prestar atenção nisso para nunca errar quem é quem na fórmula da combinação.

Mas como utilizar essa fórmula, e como definir n e p em uma questão?

Vamos ver um exemplo para ficar mais claro como calcular a combinação.

Exemplo: Vamos utilizar a fórmula da combinação para confirmar que realmente temos apenas uma combinação possível para os valores 1, 2 e 3.

Primeiro, precisamos definir quem é n e quem é p.Sabemos que n é a quantidade de elementos do conjunto. Como nosso conjunto possui três elementos (1, 2 e 3), temos que n = 3.

a) Sabemos também que p é a quantidade de elementos de cada agrupamento.

b) Como queremos formar um número (agrupamento) de três números, então temos que p = 3.

Agora que encontramos n e p, podemos substituir na fórmula da combinação:

Como 3! = 3*2*1 e 0! = 1, podemos substituir esses valores na expressão.

Viu, realmente há apenas uma única combinação. Isso ocorre justamente porque, na combinação, a ordem dos elementos não importa.

– Combinação com repetição

Já para calcular a combinação com repetição, iremos utilizar a seguinte fórmula:

Onde C = quantidade de combinações possíveis, n = quantidade de elementos de cada conjunto, e p = quantidade de elementos de cada agrupamento.

Mas como eu sei se a combinação é simples ou com repetição?

Na combinação simples, os elementos do conjunto só podem aparecer uma única vez na sequência. Já na combinação com repetição, os elementos do conjunto podem aparecer várias vezes na sequência.

Veja só, na combinação simples, vimos que só há uma combinação possível para os números 1, 2 e 3. Na combinação com repetição, teríamos mais combinações possíveis, já que poderíamos fazer, por exemplo, 111, 332, 131, 322. Vamos utilizar a fórmula para ver se é isso mesmo? 

Como os valores de n e p continuam os mesmos de antes, vamos apenas substituir na fórmula da combinação com repetição.

Aplicações

Já parou para pensar onde podemos encontrar combinações no nosso cotidiano? Vamos ver alguns exemplos!

• Quando você escolhe qual roupa utilizar, está fazendo uma combinação, pois tanto faz a ordem em que você pega sua roupa, certo?

• Em jogos de loterias, como a Mega-Sena, escolhemos 6 números, e ao fazer isso, já estamos fazendo uma combinação, já que não importa a ordem em que escolhemos esses números. O mesmo vale para o sorteio, pois os seis números sorteados formam também uma combinação.

Eae, consegue pensar em mais alguns exemplos de combinação no cotidiano? 

Para finalizar, vamos ver o último tipo de agrupamento deste módulo sobre análise combinatória.

Referências