Análise Combinatória

A análise combinatória é um campo da matemática que se dedica ao estudo de problemas relacionados à contagem, de modo que o objetivo dessa área é descobrir qual é a quantidade de agrupamentos possíveis em uma determinada situação. Existem diversas aplicações dessa área, e, mesmo sem saber, muitas vezes a utilizamos, como veremos ao longo das páginas.

Dentre os principais tipos de agrupamentos, temos o arranjo, a combinação e a permutação. Mas você sabe qual a diferença entre eles?

Fatorial

O fatorial é um elemento muito importante na análise combinatória, e saber como utilizá-lo é essencial para resolver os problemas. Mas, o que é o fatorial?

Primeiro, é importante dizer que só existe fatorial de números naturais, ou seja, números positivos maiores ou iguais a 0. Sendo assim, o fatorial de um número natural qualquer n é, basicamente, o produto (a multiplicação) de n com todos os seus antecessores positivos e maiores que 0. 

Para representar o fatorial de um número, utilizamos o ponto de exclamação ao lado desse número (!). Ou seja, o fatorial de “n” é n!.

Vamos ver alguns exemplos:

0! = 1

1! = 1

2! = 2*1 = 2

3! = 3*2*1 = 6

4! = 4*3*2*1 = 24

5! = 5*4*3*2*1 = 120

…

Veja que é sempre o mesmo procedimento, multiplicar um número natural por todos os seus antecessores maiores que 0. Falando em 0, como assim 0! = 1?

Esta é uma pergunta interessante, pois, afinal, parece estranho que 1! e 0! tenham o mesmo valor. Mas, tudo é uma questão de álgebra. Vejamos o porquê disso acontecer.

Temos ali nos exemplos 5!, certo? Perceba que 5! é nada mais nada menos que 5*4!. Olha só:

5*4! = 5!

Sendo assim, veja que podemos passar o 5 dividindo e escrever 4! como sendo:

Perceba que podemos seguir com esse mesmo raciocínio para os outros fatoriais: 

E chegamos finalmente ao 0!. Executando exatamente o mesmo procedimento acima, temos que:

Mas espera, lembra que 1! = 1? Sendo assim, temos que:

E é por esse motivo que 0! é igual a 1.

Operações com fatorial

Assim como todos os outros números, podemos realizar as operações fundamentais com os fatoriais. No entanto, devemos tomar cuidado, pois é fácil se confundir e errar na hora de executá-las.

– Adição e subtração

Ex. 1: 4! + 3!

Parece bem intuitivo escrever que 4! + 3! é igual a 7!. No entanto, isto está errado. A regra básica para realizar qualquer cálculo que envolva fatoriais é primeiramente “abri-los”. O que isso significa? Isso quer dizer que, por exemplo, ao invés de utilizar 4! na expressão, devemos utilizar 4*3*2*1. Ou seja, neste exemplo, o que temos, na verdade, é:

(4*3*2*1) + (3*2*1)

Feito isso, basta realizar as multiplicações e, por fim, a soma:

24 + 6 = 30

Da mesma forma, podemos realizar a subtração de fatoriais.

Ex. 2: 5! – 2!

(5*4*3*2*1) – (2*1)

120 – 2 = 118

– Multiplicação e divisão

Estas duas operações seguem a mesma lógica das anteriores, ou seja, devemos abrir o fatorial, realizar as multiplicações, e só depois realizar as operações.

Ex. 3: 6! * 4!

(6*5*4*3*2*1) * (4*3*2*1)

720 * 24 = 17280

Ex. 4: 5! / 3!

Perceba que aqui podemos fazer de duas formas. 

1) Realizando as multiplicações para encontrar a expressão 120/6. Feito isso, basta realizar a divisão para encontrar 20 como resultado.

2) Simplificar a divisão a partir dos elementos comuns no numerador e denominador da fração. Nesse caso, podemos “cortar” os 3, 2 e 1 da expressão, já que eles estão no numerador e no denominador da fração. Ou seja:

Fazendo isso, temos que nossa conta agora é simplesmente 5*4. Realizando a multiplicação, encontramos 20 como resultado, assim como no método anterior.

Seguindo com a divisão, como você resolveria a expressão do exemplo a seguir?

Ex. 5: 4! / 4

Muito simples, né, como temos 4 no numerador e no denominador, a resposta é 1, certo? Errado, perceba que aqui estamos fazendo a divisão de um fatorial por um número natural, ou seja, quatro fatorial dividido por quatro. Sendo assim, não podemos simplesmente cortar os termos, porque eles não são a mesma coisa.

O que temos, então, é:

Sendo assim, podemos cortar o 4 e ficar apenas com 3*2*1 = 6.

Bem simples, né?

Agora que sabemos bastante sobre fatoriais, vamos finalmente começar a ver os tipos de agrupamentos.

Referências